Oppiaineen tehtävä

Matematiikan opiskelu antaa opiskelijalle valmiudet ymmärtää, soveltaa ja tuottaa sekä arvioida matemaattisesti esitettyä tietoa. Opetus ohjaa opiskelijaa ymmärtämään matematiikan merkityksen nykyajan kulttuureissa ja huomaamaan sen välttämättömyyden eri aloilla, kuten tekniikassa, lääke-, talous-, yhteiskunta- ja luonnontieteissä sekä taiteissa. Matematiikan opetuksen tehtävänä on perehdyttää opiskelija matematiikan peruskäsitteisiin, perusideoihin ja rakenteisiin sekä ohjata käyttämään puhuttua, kirjoitettua ja muutoin ilmaistua matematiikkaa. Opetus kehittää laskemisen, luovan ajattelun sekä ilmiöiden mallintamisen, ennustamisen ja ongelmien ratkaisemisen taitoja.

Matematiikan opiskelussa opiskelija kehittyy hyödyntämään tietokoneohjelmistoja ja digitaalisia tiedonlähteitä oppimisessa, tutkimisessa sekä ongelmanratkaisussa. Hän myös oppii arvioimaan tietoteknisten välineiden hyödyllisyyttä ja käytön rajallisuutta.

Matematiikan opetuksen yleiset tavoitteet

Matematiikan opetuksen yleisenä tavoitteena on, että opiskelija

• saa myönteisiä oppimiskokemuksia, tottuu pitkäjänteiseen työskentelyyn ja oppii luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä, taitoihinsa ja ajatteluunsa
• ymmärtää matematiikan sekä ainutlaatuisena itsenäisenä tieteenalana että käyttökelpoisena välineenä, kun mallinnetaan, hallitaan tai ennustetaan yhteiskunnan, talouden tai luonnon ilmiöitä
• rakentaa matemaattista pohjaa jatko-opinnoilleen
• harjaantuu käsittelemään tietoa matematiikalle ominaisella tavalla ja tottuu tekemään otaksumia, tutkimaan niiden oikeellisuutta, laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä
• kykenee seuraamaan matemaattista esitystä, lukemaan matemaattista tekstiä, keskustelemaan matematiikasta, perustelemaan väitteitä ja arvioimaan eri muodoissa tarjottua informaatiota
• harjaantuu mallintamaan käytännön ongelmatilanteita ja hyödyntämään erilaisia ratkaisustrategioita
• rohkaistuu myös kokeilevaan ja tutkivaan toimintaan sekä ongelmien ratkaisujen keksimiseen ja selkeään esittämiseen
• osaa käyttää tarkoituksenmukaisia matemaattisia menetelmiä, ohjelmistoja ja tietolähteitä sekä ymmärtää, ettei ohjelmiston tuottama tulos yksinään riitä osoittamaan, todistamaan tai perustelemaan väitettä.

Opetuksessa tutkitaan arkielämän ja matematiikan välisiä yhteyksiä, hyödynnetään mahdollisuuksia vahvistaa opiskelijan kiinnostusta, itsetuntoa ja tiedonhankintaprosesseja sekä kannustetaan opiskelijaa kokeiluihin ja sinnikkääseen työskentelyyn. Matematiikassa opittavia taitoja sovelletaan omien tavoitteiden asettamisessa ja päätöksenteossa sekä pohditaan, kuinka matematiikan taitoja voidaan hyödyntää kestävään kehitykseen ja ihmiskuntaan liittyvien ongelmien ratkaisussa. Näin vahvistetaan opiskelijan yhteiskunnallista osaamista, eettisyyttä ja ympäristöosaamista sekä hyvinvointiosaamista.

Opetuksen lähtökohdat valitaan opiskelijoita kiinnostavista aiheista, ilmiöistä ja niihin liittyvistä ongelmista, joita voidaan ratkoa matematiikan avulla. Opetuksessa käytetään vaihtelevia työtapoja, joissa opiskelijat työskentelevät yksin ja yhdessä. Tällä vahvistetaan muun muassa vuorovaikutusosaamista. Opetustavat valitaan yhdessä opiskelijoiden kanssa. Opetustilanteet järjestetään siten, että ne herättävät opiskelijan tekemään havaintojensa pohjalta kysymyksiä, oletuksia ja päätelmiä sekä perustelemaan niitä.

Matematiikan opiskelu tukee globaali- ja kulttuuriosaamisen sekä monitieteisen ja luovan osaamisenlaaja-alaisia tavoitteita. Opiskelijaa ohjataan ymmärtämään matematiikan merkitys erilaisissa kulttuureissa ja historian kehityksessä sekä sen luonne universaalina kielenä. Opiskelija oppii hahmottamaan matemaattisten käsitteiden merkityksiä ja tunnistamaan, kuinka ne liittyvät laajempiin kokonaisuuksiin sekä matematiikassa että muissa oppiaineissa. Opiskelijaa rohkaistaan käyttämään matematiikan kieltä ja merkintöjä sekä ajattelua tukevia kuvia, piirroksia ja välineitä. Opiskelijaa tuetaan taidossa siirtyä eri matemaattisen tiedon esitysmuodoista toiseen ilmiöiden mallintamisessa, ongelman ymmärtämisessä ja ratkaisemisessa sekä tuloksesta keskustelemisessa.

Laaja-alaisen osaamisen taitojen kehittyminen matematiikassa

Yhteiskunnallinen osaaminen

Opinnot ohjaavat opiskelijaa kehittävään ja uudistuvaan otteeseen suhteessa omaan uraan ja taloudenhoitoon sekä yrittäjämäiseen asenteeseen. Opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen. Opiskeluun luodaan ”yrittäjämäinen” ilmapiiri, joka antaa vapauksia mutta kannustaa vastuunottoon.

Hyvinvointiosaaminen

Opiskelijaa ohjataan tavoitteellisesti tunnistamaan ja hyödyntämään omia vahvuuksiaan ja toisaalta kehittämiskohteitaan sekä huomaamaan, että menestyksellinen matematiikan opiskelu vaatii pitkäjänteistä työntekoa ja sinnikkyyttä. Opetuksessa tuetaan epävarmuuden sietokykyä ja vahvistetaan luottamusta, jolloin opiskelija oppii arvioimaan myös omia voimavarojaan ja suunnittelemaan ajankäyttöä. Opetuksessa kannustetaan vastuunottoon omasta oppimisesta luomalla työn tekemisen kulttuuri, joka arvostaa omaa ja muiden osaamista ja sallii erityisosaamista mutta myös epäonnistumisia. Opiskelutaitojen kehittymistä ohjataan tavoitteellisesti, jolloin opiskelija omaksuu matematiikan oppimista tukevia käytänteitä.

Monitieteinen ja luova osaaminen

Opetuksessa rohkaistaan opiskelijaa tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri oppiaineissa. Monitieteellinen lähestymistapa voi motivoida oppimaan uutta ja innostaa uteliaisuuteen sekä merkityksien etsimiseen. Opintojen aikana tutustutaan erilaisiin tiedonhankinnan ja -esittämisen tapoihin digiajassa, ja matematiikan kannalta olennaisten monilukutaidon osa-alueiden (sanallinen, numeerinen, symbolinen, kuvallinen) hallintaa syvennetään tavoitteellisesti. Samalla opiskelija oppii arvioimaan matemaattisesti esitetyn tiedon luotettavuutta ja sovellusaloja.

Vuorovaikutusosaaminen

Opetustilanteissa rakennetaan positiivinen, avoin ja kannustava ilmapiiri tukemaan jokaista opiskelijaa ja auttamaan heitä saavuttamaan omia tavoitteita, sillä ns. positiivinen kierre imee heikommatkin opiskelijat mukaan. Turvallinen opiskeluympäristö kannustaa opiskelijoita keskusteluun, omien ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä tutkimiseen ja oppimiseen.

Eettisyys ja ympäristöosaaminen, Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Läpi matematiikan opintojen opiskelijaa autetaan hahmottamaan, että matematiikan avulla voidaan jäsentää ja ratkaista globaaleja ongelmia.

Arviointi

Monipuolisella arvioinnilla ja kannustavalla palautteella tuetaan opiskelijan matemaattisen ajattelun ja itseluottamuksen kehittymistä sekä ylläpidetään ja vahvistetaan opiskelumotivaatiota. Arviointi ohjaa opiskelijaa kehittämään matematiikan osaamistaan ja ymmärtämistään sekä pitkäjänteisen työskentelyn taitojaan. Arvioinnilla opiskelijaa autetaan kehittämään matemaattisten ratkaisujen esittämistä, tuetaan käsitteiden muodostamisprosessissa ja ohjataan oman työn arvioimiseen. Onnistunut palaute auttaa opiskelijaa huomaamaan vahvuutensa sekä sen, mitä ja miten tietoja ja taitoja tulisi edelleen kehittää.

Arvioinnissa kiinnitetään huomiota laskutaitoon, menetelmien valintaan, matemaattisen ajattelun ja ongelmanratkaisun taitoihin, päätelmien perustelemiseen ja analysoimiseen sekä ohjelmistojen valintaan ja käyttöön.

Oppimäärän vaihtaminen

Kun matematiikan oppimäärää vaihdetaan pitkästä lyhyeen, suoritettuja opintoja luetaan hyväksi seuraavalla tavalla:

Muut pitkän oppimäärän mukaiset hyväksytysti suoritetut opinnot tai vaihdon yhteydessä moduuleista yli jääviä opintopisteitä vastaavat hyväksytysti suoritetut osaopinnot voivat olla lyhyen oppimäärän muita valinnaisia tai temaattisia opintoja paikallisessa opetussuunnitelmassa päätettävällä tavalla.

Opiskelijan siirtyessä pitkästä oppimäärästä lyhyeen oppimäärään tulee opiskelijalle hänen niin halutessa järjestää mahdollisuus lisänäyttöihin osaamistason toteamiseksi.

Kun opiskelija siirtyy lyhyestä oppimäärästä pitkään oppimäärään, häneltä voidaan edellyttää täydentäviä opintoja, ja tässä yhteydessä myös arvosana harkitaan uudelleen. Vaihdon yhteydessä moduuleista puuttumaan jäävät opintopisteet tulee suorittaa paikallisessa opetussuunnitelmassa päätettävällä tavalla.

Opiskelija voi opiskella myös toisen oppimäärän moduuleja oppimäärää vaihtamatta. Tällöin kyseiset moduulit voidaan lukea hyväksi opiskelijan varsinaisen oppimäärän muiksi valinnaisiksi tai temaattisiksi opinnoiksi paikallisessa opetussuunnitelmassa päätettävällä tavalla.

Opintojaksossa keskitytään perusopetuksessa opiskeltujen sisältöjen kertaamiseen ja syventämiseen. Opintojakson aikana kiinnitetään erityistä huomiota siirtymiseen luvuista symbolien käyttöön. Opintojakson aikana voidaan keskittyä perusasioiden osaamisen vahvistamiseen tai osaamisen syventämiseen ja laajentamiseen. Opintojakson aikana myös luodaan ne opiskelutottumukset, joihin myöhempien opintojaksojen opiskelu perustuu sekä otetaan käyttöön niitä ohjelmistoja, joita tullaan hyödyntämään myöhemmissä opinnoissa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• kertaa prosenttilaskennan periaatteet
• osaa käyttää verrannollisuutta ongelmanratkaisussa
• syventää murtolukujen laskutoimitusten osaamistaan
• kertaa potenssin laskusäännöt
• vahvistaa ymmärrystään funktion käsitteestä
• ymmärtää yhtälön ja yhtälöparin ratkaisemisen periaatteet oppii käyttämään ohjelmistoja funktion kuvaajan piirtämisessä, havainnoinnissa ja yhtälöiden ratkaisemisessa.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu sujuvaan laskinohjelmien käyttöön peruslaskutoimitusten yhteydessä (tarkka arvo ja likiarvo)
• oppii tallentamaan funktion ja laskemaan funktion arvoja oppii piirtämään funktion kuvaajan sekä muuttamaan koordinaatiston asetuksia tilanteeseen sopivaksi
• oppii tutkimaan funktion kuvaajaa: havainnoimaan funktion arvoa, merkkiä, nollakohtia sekä muita leikkauspisteitä
• oppii ratkaisemaan yhtälön symbolisesti (ratkaise-toiminto)
• oppii ratkaisemaan yhtälöparin graafisesti ja symbolisesti
• tutustuu sähköiseen vastaamiseen matematiikassa (esim. kaavaeditorin käyttö).

Keskeiset sisällöt

• lukujoukot ja peruslaskutoimitukset
• luvun vastaluku, käänteisluku ja itseisarvo
• prosenttilaskenta
• potenssin laskusäännöt (eksponenttina kokonaisluku)
• suoraan ja kääntäen verrannollisuus
• funktio, kuvaajan piirto ja kuvaajan tulkinta
• ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen
• yhtälöpari
• neliö- ja kuutiojuuri
• potenssifunktio ja potenssiyhtälö (asteluvut 2 ja 3)

Tarkennuksia sisältöihin

Peruslaskutoimitukset ja laskujärjestys. Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin, lukusuora ja lukujen suuruusjärjestys. Rationaaliluvun esitys murtolukuna, päättyvänä desimaalilukuna tai jaksollisena desimaalilukuna. Murtolukujen peruslaskutoimitukset mukaan lukien käänteisluku ja potenssiin korotukset (n kokonaisluku). Negatiivinen ja nollas potenssi sekä luvun kymmenpotenssiesitys. Irrationaaliluku. Tarkka arvo ja likiarvo. Luvun neliö ja kuutio, neliö- ja kuutiojuuri: määritelmät. (Neliöjuuren laskusäännöt opiskellaan opintojaksossa MAA2. Yleinen juuri ja potenssiyhtälö opiskellaan opintojaksoissa MAA2 ja MAB4).

Prosentti. Prosenttiyksikkö, prosenttiker­roin. Perusarvon ratkaiseminen. Vertailu- ja muutosprosentti, peräkkäiset muutok­set. Tarkastellaan monipuolisesti ilmiöitä, joihin liittyy prosentuaalisia muutoksia.

Verrannollisuus. Suoraan ja kääntäen ver­rannollisia suureita käytännön tilanteissa. Ongelman muotoileminen yhtälöksi. Ver­rantomuotoisen yhtälön ratkaiseminen.

Funktio. Funktiokäsitteen täsmennys. Muuttuja, funktion arvo, funktion lauseke ja funktion arvon laskeminen. Muuttujan arvon ratkaiseminen. Funktion kuvaaja ja sen tulkitseminen: nollakohdan ratkaiseminen algebrallisesti ja graafisesti sekä funktion merkin havainnointi. Kuvaajan ja lausekkeen yhdistäminen. (Määrittely- ja arvojoukko opiskellaan opintojaksoissa MAA2 ja MAA5.)

Yhtälö ja yhtälöpari. Ensimmäisen asteen yhtälön ja potenssiyhtälön (n = 2,3) ratkai­seminen. Sen tutkiminen, onko annettu luku yhtälön ratkaisu. Nimittäjien poista­minen yhtälöstä. Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen sekä sijoitus- että eliminointimenetelmällä.

Laaja-alainen osaaminen

Hyvinvointiosaaminen

Vuorovaikutusosaaminen 

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Opintojaksossa tutustutaan polynomi- ja rationaalifunktioiden sekä juurifunktioi­den ominaisuuksiin ja niiden käyttöön il­miöiden kuvaamisessa ja ongelmanratkai­sussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden avulla
• tuntee polynomi-, rationaali ja juurifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä sekä tietää polynomifunktion nollakohtien ja polynomin tekijöiden välisen yhteyden
• osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
• osaa käyttää ohjelmistoja polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden tutkimisessa sekä polynomi-, rationaali- ja juuriyhtälöiden ja polynomiepäyhtälöiden ratkaisemisessa sovellusten yhteydessä.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• vahvistaa opintojaksossa MAY1 hankkimiaan yhtälön ja yhtälöparin ratkaisemiseen

sekä funktion tarkasteluun liittyviä taitojaan

• oppii sieventämään lausekkeita sekä jakamaan polynomeja tekijöihin
• osaa ratkaista opintojaksoon kuuluvia yhtälöitä ja epäyhtälöitä graafisesti ja symbolisesti; osaa määrittää ratkaisulle tarkan arvon ja likiarvon
• oppii tutkimaan, esimerkiksi liukusäätimen avulla, miten polynomifunktion kertoimet vaikuttavat funktion kuvaajaan
• harjoittelee sähköistä vastaamista.

Keskeiset sisällöt

• polynomifunktio ja -yhtälö sekä polynomiepäyhtälö
• 2. asteen yhtälön ratkaisukaava
• polynomien tulo ja binomikaavat (summan neliö, summan ja erotuksen tulo)
• polynomien tekijät
• potenssifunktio ja potenssiyhtälö (eksponenttina positiivinen kokonaisluku)
• rationaalifunktiot ja -yhtälöt
• juurifunktiot ja -yhtälöt

Tarkennuksia sisältöihin

Polynomit. Polynomilausekkeiden sieven­täminen ja tekijöihinjako nollakohtien avulla. Polynomilausekkeen muodostami­nen nollakohtien ja yhden arvon avulla. Binomikaavat molempiin suuntiin.

(Neliöksi täydentäminen voidaan käsitellä vasta opintojaksossa MAA4.)

Polynomiyhtälöt ja -epäyhtälöt. Ensim­mäisen ja toisen asteen yhtälön ratkaise­minen, diskriminanttitarkastelut. Tulon nollasääntö. Sellaiset korkeamman asteen yhtälöt, joiden ratkaiseminen perustuu tulon nollasääntöön, kun tekijöihin jaossa hyödynnetään ryhmittelyä ja/tai yhteisen tekijän erottamista. Bikvadraattiset ja muut toisen asteen yhtälöön palautuvat yhtälöt. Yleinen juuri ja potenssiyhtälöt (). Polynomiepäyhtälö voidaan ratkaista nollakohtien ja esim. kuvaajan tai testipisteiden avulla (polynomifunktio voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdassa).

Funktiot. Toisen ja kolmannen asteen polynomifunktion sekä potenssifunktion kuvaajan tyypilliset piirteet. Funktion määrittelyjoukko (tai määrittelyehto) ja sen vaikutus funktion kuvaajaan ja yhtälöiden ratkaisuihin. Neliöjuuren laskusäännöt ja neliöjuurilausekkeiden sieventäminen. Juuriyhtälön ratkaiseminen ja saadun ratkaisun arvioiminen (tarkistamalla tai yhtälön määrittely- ja neliöönkorotusehdon perusteella). Murtopotenssi ja sen yhteys juureen käsitellään opintojaksossa MAA5. Rationaalilausekkeiden käsittely ja sieventäminen. Yksinkertaiset rationaaliyhtälöt. Rationaalifunktion merkkitarkastelu käsitellään opintojaksossa MAA6.

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen 

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Opintojakson aikana on luontevaa harjaan­nuttaa opiskelijaa tekemään havaintoja ja etsimään säännönmukaisuuksia sekä omien tutkimusten pohjalta esittämään kysymyksiä, oletuksia ja päätelmiä sekä perustelemaan niitä.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa ja muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa
• osaa soveltaa yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa
• harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa sisältäviä lauseita
• osaa käyttää ohjelmistoja tutkiessaan kuvioita ja kappaleita sekä niihin liittyvää geometriaa.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• oppii tutkimaan kuvioiden ominaisuuksia ja säännönmukaisuuksia dynaamisen geometrian ohjelmalla (esim. ympyrän keskuskulma ja kehäkulma, kolmion merkilliset pisteet)
• oppii piirtämään mallikuvan ja tarkistamaan laskemalla saadun ratkaisun
• tutustuu yksinkertaisten mallikuvien piirtämiseen myös yo-kokeen A-osan ohjelmistoilla
• oppii ratkaisemaan ongelman konstruoimalla kuvion tai kappaleen ja määrittämällä kulman, pituuden, pinta-alan tai muun mitan hyödyntämällä ohjelmistoa
• harjaantuu laskinohjelmien rohkeaan hyödyntämiseen geometrian ongelmien ratkaisemisessa (mm. laskemisessa, sieventämisessä ja yhtälönratkaisussa sekä sinin, kosinin ja tangentin arvojen laskemisessa ja terävän kulman ratkaisemisessa).

Keskeiset sisällöt

• kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
• sini- ja kosinilause
• monikulmioihin liittyvien pituuksien, kulmien ja pinta-alojen laskeminen
• ympyrän ja sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
• suoraan lieriöön ja suoraan kartioon sekä palloon liittyvien pituuksien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

Tarkennuksia sisältöihin

Suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lause (ja sen käänteislause). Terävän kulman trigonometriset suhteet sini, kosini ja tangentti. Muistikolmiot. (Tangenttifunktio on poistettu sisällöistä ainoastaan opintojaksossa MAA5.)

Kolmiot ja muut monikulmiot. Monikulmion kulmien summa. Tasakylkisen kolmion ja suunnikkaan ominaisuudet. Säännölliset monikulmiot. Sini- ja kosinilause, kolmion pinta-ala.

Kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoi­suus. Yhdenmuotoisuus ja mittakaava. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen ja yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuk­sien suhde. Kolmioiden kk-yhdenmuotoi­suuslause. Kolmion kulmanpuolittajalau­se.

Ympyrä. Kehän, kaaren ja jänteen pituus. Ympyrän, sektorin ja segmentin pinta-ala. Kehäkulmalause. Ympyrän tangentti ja tangenttikulmalause.

Avaruusgeometria. Kappaleisiin liittyviä nimityksiä (mm. särmä, tahko, pohja, vaippa; särmiö, pyramidi, tetraedri). Riittää, että opiskelija hallitsee palloon, suoraan lieriöön sekä suoraan kartioon liittyviä pituus-, pinta-ala ja tilavuuslaskuja sekä yksinkertaisia avaruuskulmiin liittyviä laskuja (esim. kuution sisään syntyvät kulmat) ja piirroksia. Sisäkkäisiin avaruuskappaleisiin liittyvät haastavammat tilanteet voidaan käsitellä opintojaksossa MAA10. Kulma avaruudessa opiskellaan tarkemmin opintojaksossa MAA10.

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Opintojaksossa perehdytään geometriaan tasokoordinaatistossa. Analyyttisen geometrian menetelmät luovat yhteyden geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille, kun geometrinen muoto (pistejoukko) ilmaistaan yhtälönä. Vektorilaskenta monipuolistaa geometrian menetelmiä ja tuo erilaista näkökulmaa geometristen ongelmien ratkaisemiseen. Osa opintojakson keskeisistä sisällöistä voidaan käsitellä joko analyyttisen geometrian tai vektorilaskennan keinoin. Avaruuden vektorit, suorat ja tasot käsitellään opintojaksossa MAA10.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille
• ymmärtää yhtälön geometrisen merkityksen
• osaa ratkaista muotoa |f(x)| = a tai |f(x)| = |g(x)| olevia itseisarvoyhtälöitä
• ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin
• osaa tutkia kaksiulotteisen koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla
• osaa ratkaista tasogeometrian ongelmia vektoreiden avulla
• osaa käyttää ohjelmistoja käyrien ja vektoreiden tutkimisessa sekä niihin liittyvissä sovelluksissa.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• osaa piirtää erilaisia tasokäyriä ja havainnollistaa käyräparvea esimerkiksi         liukusäätimellä
• osaa ratkaista yhtälöryhmän symbolisesti (esimerkiksi paraabelin lausekkeen muodostaminen annettujen pisteiden avulla)
• oppii ratkaisemaan itseisarvoyhtälön graafisesti ja symbolisesti sekä havain-noimaan, miten käyrät y = f(x) ja y = |f(x)| liittyvät toisiinsa
• harjaantuu sujuvuuteen mallikuvan piirtämisessä ja laskemalla saadun vastauksen tarkistamisessa
• oppii piirtämään vektoreita sekä tekemään vektorien laskutoimituksia (vektoreiden yhteenlasku, luvulla kertominen, pituuden laskeminen, yksikkövektorin muodostaminen, pistetulo ja vektoreiden välisen kulman laskeminen) symbolisesti.

Keskeiset sisällöt

• käyrän yhtälö
• suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälö
• yhtälöryhmä
• suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus
• itseisarvoyhtälö
• pisteen etäisyys suorasta
• vektoreiden perusominaisuudet
• tason vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku sekä tason vektorin kertominen luvulla
• tason vektoreiden pistetulo, tason vektoreiden välinen kulma

Tarkennuksia sisältöihin

Käyrän yhtälö. Karteesinen tasokoordi­naatisto ja sen piste, suora, ympyrä sekä paraabeli. Yhtälön toteuttavat xy-tason pisteet muodostavat xy-tason käyrän. Suo­ran ja ympyrän yhtälöt (eri esitysmuodot). Neliöksi täydentäminen ympyrän tai paraabelin yhtälön käsittelyn yhteydessä. Ympyrän tangentit. Paraabeli, jonka akseli on koordinaattiakselien suuntainen. Polt­topiste ja johtosuora. Paraabelin yhtälön eri esitysmuodot (nollakohtamuotoinen ja huippupistemuotoinen yhtälö). Yhtälöpari ja menetelmät eri leikkauspisteiden ratkai­semiseen (kaksi suoraa, ympyrä ja suora, paraabeli ja suora jne.) Lineaarisen yhtälö­ryhmän ratkaisuperiaate.

Itseisarvo. Itseisarvon määritelmä ja yhtä­löt, joiden ratkaiseminen perustuu määri­telmään. (Neliöönkorotusmenetelmä voi­daan esitellä, mutta itseisarvoepäyhtälö on poistettu opetussuunnitelman sisällöistä.)

Vektoreiden perusominaisuudet. Vekto­rilla on suunta ja pituus: vektori on objekti, joka ilmaisee siirtymää (tietyn verran, tiettyyn suuntaan). Nollavektori. Vasta­vektori. Yhdensuuntaiset, samansuuntai­set, vastakkaissuuntaiset ja kohtisuorat vektorit; näihin liittyvät merkinnät. Vek­torin pituus, vektorin suuntainen yksikkö­vektori, vektorien välinen kulma.

Vektorit. Tarkastelun painopiste on xy-tason vektoreissa. Koordinaatistossa ole­van vektorin esittäminen x- ja y-suuntais­ten komponenttien avulla (i- ja j-kantavek­torit). Yleinen kannan käsite voidaan sivuuttaa. Suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruus, suuntakulma ja suorien välinen kulma voidaan käsitellä analyytti­sen geometrian menetelmillä (kulmaker­toimen avulla) tai vektorien avulla (yhden­suuntaiset vektorit, pistetulo).

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Opintojakso täydentää opintojaksossa MAA2 tehtyjä tarkasteluja, kun tutustutaan sini-ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuuksiin ja niiden käyttöön ilmiöiden kuvaamisessa ja ongelmanratkaisussa. Opintojakso antaa mahdollisuudet ohjelmistojen monipuoli­seen käyttöön, mm. kuvaajien hahmotta­misessa, mallintamisessa sekä yhtälöiden ratkaisemisessa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• tutustuu ilmiöiden matemaattiseen mallintamiseen sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden avulla
• tutkii sini- ja kosinifunktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla
• osaa ratkaista sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä sin f(x) = a tai
  sin f(x) = sin g(x)
• osaa soveltaa sini- ja kosinifunktioiden yhteyttä sin2 x + cos2 x = 1
• tuntee eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä
• osaa käyttää ohjelmistoja funktioiden tutkimisessa ja yhtälöiden ratkaisemisessa sovellusten yhteydessä.

Ohjelmistotaidot

Opintojakso tavoitteena on, että opiskelija

• osaa piirtää yksikköympyrän, suunnatun kulman ja kehäpisteen sekä tutkia näitä (mm. symmetrioita)
• osaa ratkaista opintojakson piiriin kuuluvia yhtälöitä sekä esittää trigonometristen yhtälöiden ratkaisussa esiintyvän jaksollisuuden
• osaa tutkia, esim. liukusäätimen avulla, miten opintojakson sisältöihin kuuluvien funktioiden lausekkeessa esiintyvät kertoimet vaikuttavat funktion kuvaajaan
• osaa sovittaa esim. sinikäyrän ja eksponenttifunktion annettuun pistejoukkoon ilmiötä mallinnettaessa.

Keskeiset sisällöt

• suunnattu kulma ja radiaani
• yksikköympyrä
• sini- ja kosinifunktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen
• sini- ja kosiniyhtälöiden ratkaiseminen
• murtopotenssi ja sen yhteys juureen
• eksponenttifunktiot ja -yhtälöt
• logaritmi ja logaritmin laskusäännöt
• logaritmifunktiot ja -yhtälöt

Tarkennuksia sisältöihin

Trigonometriset funktiot. Sini- ja kosinifunktio (tangenttifunktio on karsittu sisällöistä; tangenttia käsitellään edelleen suorakulmaisen kolmion sivujen suhteena opintojaksossa MAA3). Arvojoukko, symmetria ja jaksollisuus sekä kuvaajien perusominaisuudet. Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen. Jaksollisen ilmiön mallintaminen.

Eksponenttifunktio. Potenssikäsitteen yleistys rationaalisille ja reaalisille eksponenteille (kantalukuna positiivinen luku). Kuvaajatyypit. Eksponentiaalisen kasvamisen ja vähenemisen kuvaaminen, puoliintumisaika. (Neperin luku ja luonnollinen logaritmi käsitellään opintojaksossa MAA6.)

Logaritmifunktio. Logaritmin yhteys eksponenttifunktioon ja logaritmin ylei­nen määritelmä. Eksponentti- ja logarit­miyhtälön ratkaiseminen. Logaritmifunk­tion määrittelyjoukko ja kuvaajan peruspiirteet.

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Opintojakson keskeisenä päämääränä on ohjata opiskelija sisäistämään derivaatan käsite funktion muutosnopeuden mittana, hahmottamaan funktion ja sen derivaattafunktion välinen yhteys sekä harjaannuttaa opiskelija käyttämään derivaattaa monipuolisesti funktioiden tutkimisessa sekä ääriarvo-ongelmien ratkaisemisessa. Jatkuvuus- ja derivoituvuustarkasteluihin (mm. epäjatkuviin funktioihin) perehdytään opintojaksossa MAA12.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• tutustuu ilmiöiden matemaattisten mallien käyttäytymiseen derivaatan avulla
• omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta ja jatkuvuudesta
• ymmärtää derivaatan tulkinnan funktion muutosnopeutena
• kykenee määrittämään yksinkertaisten funktioiden derivaatat
• osaa derivoida yhdistettyjä funktioita
• hallitsee funktioiden kulun tutkimisen derivaatan avulla ja osaa määrittää niiden ääriarvot suljetulla välillä
• osaa käyttää ohjelmistoja raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa sovellusten yhteydessä.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu sujuvaan lausekkeiden käsittelyyn (sieventämiseen ja arvojen laskemiseen) mm. erotusosamäärän lausekkeen käsittelyssä
• oppii tutkimaan raja-arvoa esim. taulukoimalla tai kuvaajan avulla
• oppii määrittämään raja-arvoja
• oppii piirtämään funktion kuvaajalle sekantin ja tangentin (dynaamisesti), määrittämään kulmakertoimen (graafinen derivointi)
• osaa havainnoida derivaatan merkkiä ja funktion kasvavuutta (sekä funktion että derivaattafunktion) kuvaajasta
• oppii derivoimaan funktion, laskemaan derivaatan arvon ja määrittämään derivaatan nollakohdan symbolisesti
• rohkaistuu ohjelmiston hyödyntämiseen funktion derivoimisessa, yhtälönratkaisussa ja arvojen laskemisessa sovellustehtävissä.

Keskeiset sisällöt

• funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
• polynomi- ja rationaalifunktioiden sekä juurifunktion derivaatat
• sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat
• funktioiden tulon ja osamäärän derivaatta
• yhdistetty funktio ja sen derivointi
• funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen

Tarkennuksia sisältöihin

Raja-arvo ja jatkuvuus. Raja-arvon laske­minen ja jatkuvuustarkastelut tilanteissa, joissa toispuoleisia raja-arvoja ei tarvita (esim. rationaalifunktion raja-arvo ja jat­kuvaksi funktioksi jatkaminen tilanteessa ). Jatkuvuus kohdassa x = a ja välillä ]a, b[.

Derivaatta. Funktion keskimääräinen muutosnopeus ja hetkellinen muutosnopeus, erotusosamäärä ja funktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvona. Derivaattafunktio. Aikaisemmissa opintojaksoissa kohdattujen alkeisfunktioiden derivoiminen (mukaan lukien ketjusääntö yksinkertaisissa tilanteissa). Käyrän tangentti ja normaali. Neperin luku ja luonnollinen logaritmi.

Funktion kulku. Kasvavan ja vähenevän funktion määritelmät. Funktion kulun (kasvavuus/vähenevyys/monotonisuus) tutkiminen sekä lokaalien ääriarvojen määrittäminen derivaatan nollakohtien ja merkin avulla (derivaatan merkki voidaan selvittää kuvaajatyypin tai testipisteiden avulla). Rationaalifunktion derivaatan merkkitarkastelu voidaan tehdä nollakoh­dilla, määrittelyehdolla ja testipisteillä (rationaalifunktio voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdassa tai kohdassa, jossa sitä ei ole määritelty). Yhtälön juurten olemas­saolo ja yksikäsitteisyys (Bolzanon lause). Suljetulla välillä jatkuvan funktion suu­rimman ja pienimmän arvon määrittämi­nen.

Ääriarvosovellukset. Tilannetta kuvaavan funktion muodostaminen ja määrittelyehto. Ääriarvokohtien ratkaiseminen derivaatan nollakohdista laskennallisesti. Suurimman/pienimmän arvon määrittäminen suljetulla välillä tai funktion kulkuun vedoten: funktion kasvavuuden/vähenevyyden voi havainnoida kuvaajasta. Avaruuskappaleisiin liittyvät ääriarvosovellukset käsitellään opintojaksossa MAA10. Paloittain määritelty funktio sekä raja-arvot äärettömyydessä käsitellään opintojaksossa MAA12.

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Opintojakson keskeisenä päämääränä on, että opiskelija sisäistää integraalilaskennan peruskäsitteet: integraalifunktion ja määrätyn integraalin, ja ymmärtää niiden välisen yhteyden sekä tutustuu joihinkin integraalilaskennan sovelluksiin. Integraalilaskentaan liittyvät jatkuvat jakaumat käsitellään opintojaksossa MAA12.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään yksinkertaisten funktioiden integraalifunktioita
• ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan sekä tutustuu numeeriseen menetelmään määrätyn integraalin määrittämisessä
• osaa määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla
• perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin
• osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa, integraalifunktion määrittämisessä, määrätyn integraalin laskemisessa sovellusten yhteydessä sekä numeerisessa integroinnissa.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• osaa piirtää pinta-alan tehtävänannon mukaisesti
• osaa arvioida pinta-alan ylä- ja alasummien avulla dynaamisesti (idea määrätyn integraalin määritelmästä)
• osaa integroida funktion ja laskea määrätyn integraalin arvon (tarkan arvon ja likiarvon)
• osaa havainnollistaa, esim. liukusäätimen avulla, integroimisvakion C vaikutusta integraalifunktion kuvaajaan
• tutustuu pyörähdyskappaleen havainnollistamiseen
• tutustuu menetelmiin laskea määrättyjä integraaleja numeerisesti, esimerkiksi suorakaidesäännön avulla. 

Keskeiset sisällöt

• integraalifunktio ja tärkeimpien alkeisfunktioiden integrointi
• määrätty integraali
• suorakaidesääntö
• pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

Tarkennuksia sisältöihin

Integroimistekniikat. Aikaisemmissa moduuleissa kohdattujen alkeisfunktioiden integroiminen, mukaan lukien yhdistetyn funktion derivoimiseen (ketjusääntöön) perustuva integroiminen yksinkertaisissa tilanteissa. Integroimistekniikoita voidaan laajentaa opintojaksossa MAA12.

Määrätty integraali. Määrätyn integraa­lin määritelmän idea suorakaidesäännön avulla tarkasteltuna. Määrätyn integraalin laskeminen integraalifunktion avulla (analyysin peruslause). Määrätyn integraa­lin laskeminen numeerisesti (likiarvona) suorakaidesäännön avulla.

Integraalilaskennan sovellukset. Määrätyn integraalin yhteys pinta-alaan ja tilavuuteen, pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. Tutustutaan muihin integraalilaskennan sovelluksiin, esim. määrän laskeminen muutosnopeudesta. Integraalilaskennan sovelluksia voidaan laajentaa opintojaksossa MAA12.

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Opintojaksossa korostuu aikaisempaa enem­män tilastojen osuus, kun todennäköisyy­den osuutta on kevennetty. Uutena sisältö­nä opiskellaan korrelaatiota ja lineaarista regressiota. Jatkuvat todennäköisyysja­kaumat (kuten normaalijakauma) on siir­retty opintojaksoon MAA12.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• osaa havainnollistaa diskreettiä tilastollista jakaumaa sekä määrittää ja tulkita jakauman tunnuslukuja
• osaa havainnollistaa kahden muuttujan yhteisjakaumaa sekä määrittää korrelaatiokertoimen ja regressiokäyrän
• perehtyy kombinatorisiin menetelmiin
• perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja laskusääntöihin
• ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon ja tulkitsemaan sitä
• osaa käyttää ohjelmistoja digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä tilastollisen tiedon esittämisessä
• osaa hyödyntää ohjelmistoja jakaumien havainnollistamisessa, tunnuslukujen määrittämisessä sekä todennäköisyyksien laskemisessa.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu taulukkolaskentaohjelman sujuvaan käyttöön, mm. soluviittaukset, lajittelu/järjestäminen ja suodatus (eli oleellisen informaation erottaminen)
• harjaantuu tilastollisen aineiston sujuvaan käsittelyyn: oppii tiivistämään tietoa taulukoimalla ja määrittämällä tunnuslukuja sekä havainnollistamaan tilastoja erilaisilla kaavioilla
• oppii piirtämään hajontakuvion, sovittamaan regressiosuoran sekä määrittämään korrelaatiokertoimen
• oppii laskemaan permutaatioita ja kombinaatioita
• oppii piirtämään binomijakauman kuvaajan, määrittämään jakauman tunnusluvut sekä määrittämään todennäköisyyksiä ja ratkaisemaan käänteisen tilanteen
• tutustuu ajankohtaisen tilastotiedon etsimiseen ja lataamiseen eri verkkolähteistä sekä tiedon käsittelyyn, kuvaamiseen ja analysoimiseen.

Keskeiset sisällöt

• keskiluvut ja keskihajonta
• korrelaatio ja lineaarinen regressio
• klassinen ja tilastollinen todennäköisyys
• permutaatiot ja kombinaatiot
• todennäköisyyden laskusäännöt
• binomijakauma
• diskreetti todennäköisyysjakauma
• diskreetin jakauman odotusarvo

Tarkennuksia sisältöihin

Tilastot. Perusjoukko ja otos. Tarkastelu voidaan rajata diskreetteihin tilastollisiin muuttujiin. Frekvenssitaulukot ja tilastollinen todennäköisyys. Tilastolliset tunnusluvut: vaihteluväli, keskiluvut (moodi, mediaani, keskiarvo) ja keskihajonta (otoskeskihajonta). Tunnuslukujen laskentaperiaatteen ymmärtäminen. Tilastolliset kuvaajat kuten ympyrädiagrammi, pylväs- ja palkkikuvaaja sekä summafrekvenssikuvaaja (viivakaavio). Kahden muuttujan yhteisjakauma: selittävä ja selitettävä muuttuja, hajontakuvio, lineaarisen riippuvuuden havainnoiminen hajontakuviosta. Regressiosuora ja korrelaatiokerroin. Regressiomallin avulla tehnyt ennusteet.

Todennäköisyys. Klassinen todennäköi­syys ja alkeistapausten laskemismenetel­miä (tuloperiaate, permutaatiot ja kombi­naatiot). Riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö ja yleinen kertolasku­sääntö. Erillisten tapahtumien yhteenlas­kusääntö ja yleinen yhteenlaskusääntö. Komplementtisääntö. Venn-diagrammin hyödyntäminen laskusääntöjen havainnol­listamisessa. Toistokoe ja binomitodennä­köisyys.

Diskreetti todennäköisyysjakauma. Satunnaismuuttuja ja pistetodennäköisyys. Jakauman odotusarvo ja sen tulkinta. Toistokoe, binomijakauma ja sen odotus­arvo.

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Moduuli on yhtenevä moduulin MAB7 kanssa, mikä mahdollistaa opintokokonaisuuden muodostamisen yhteiskuntaopin taloustiedon opintojakson YH2 kanssa. YH2-opintojakson voi yhdistää talousmatematiikan moduuleja sekä pitkän että lyhyen matematiikan oppimääristä. On mahdollista muodostaa näiden kaikkien kolmen moduulin yhteinen opintojakso tai kaksi eri opintojaksoa: YH2+MAB7 tai YH2+MAA9.

Tavoitteet

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija

• oppii hyödyntämään matemaattisia valmiuksiaan resurssien riittävyyteen, talouden suunnitteluun, yrittäjyyteen ja kannattavuuden laskentaan
• soveltaa lukujonojen kaavoja talouteen liittyvissä matemaattisissa ongelmissa
• oppii sovittamaan taloudellisiin tilanteisiin matemaattisia malleja ja ymmärtää niiden rajoitukset
• osaa hyödyntää ohjelmistoja laskelmien tekemisessä ja sovellusten yhteydessä.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• oppii hyödyntämään symbolista laskentaa talousmatematiikan laskuissa,  esi-merkiksi annuiteettilainan yhteydessä
• oppii tekemään lukujonoihin liittyviä laskuja: esimerkiksi tallentamaan lukujonon funktiona f(n), laskemaan lukujonon jäseniä ja ratkaisemaan yhtälöitä
• oppii tekemään lainalaskelmia, esimerkiksi taulukkolaskentaohjelmassa
• tutustuu esimerkiksi verkosta löytyvien laskureiden (kuten hiilijalanjäljen) laskentaperiaatteisiin.

Keskeiset sisällöt

• aritmeettinen ja geometrinen lukujono ja niiden summat
• korkolaskut: koron korko, nykyarvo ja diskonttaus
• talletukset ja lainat
• taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja, joissa hyödynnetään lukujonoja ja summia

Tarkennuksia sisältöihin

Lukujonot. Rajoitutaan aritmeettiseen ja geometriseen lukujonoon ja summaan. Sovelluksina tarkastellaan esimerkiksi peräkkäisiä sijoituksia (kuten talletuksia) ja sijoitusten kokonaisarvoa. Talouden sovellusten lisäksi voidaan tarkastella esim. ekologisten resurssien eli luonnonvarojen riittävyyttä riittävyyslaskelmin (fossiilisten polttoaineiden, kuten öljyn, ruuan ja puhtaan veden riittävyys).

Korkolaskenta. Koronkorkolaskussa tutustutaan yleisiin käytäntöihin korkoaikojen laskemisessa, tulosten pyöristämisessä, jne. Koronkorko- ja diskonttausmenetelmä: kasvanut pääoma, eriaikaisten maksujen nykyarvo.

Lainat. Peruskäsitteet (lainapääoma, lyhennys, takaisinmaksuerä, jne.). Eri lainamuodot (asuntolaina, opintolaina, kulutusluotto, pikavippi) ja takaisinmaksuperiaatteet (tasalyhennyslaina, tasaerä- eli annuiteettilaina ja kiinteä tasaerälaina) sekä lainan hoito (lyhennysten, korkojen ja jäljellä olevan lainan määrän laskeminen eri lainamuodoissa, ja eri lainamuotojen vertailu).

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Eettisyys ja ympäristöosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Opintojaksossa täydennetään avaruusgeomet­rian sekä vektorilaskennan sisältöjä ja tutustutaan xyz-avaruuden suoriin, tasoi­hin ja pintoihin.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• syventää vektorilaskennan tuntemustaan ja oppii käyttämään vektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa
• oppii tutkimaan xyz-koordinaatiston pisteitä, suoria ja tasoja vektoreiden avulla
• vahvistaa avaruusgeometrian osaamistaan ääriarvosovellusten yhteydessä
• tutustuu kahden muuttujan funktioon
• osaa käyttää ohjelmistoja vektoreiden, suorien, tasojen ja pintojen havainnollistamissa sekä vektorilaskennassa.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• osaa piirtää avaruuden pisteitä, vektoreita, suoria ja tasoja sekä pintoja
• osaa laskea vektorien piste- ja ristitulon
• osaa ratkaista lineaarisen yhtälöryhmän symbolisesti ja graafisesti
• osaa hyödyntää ohjelmistoja ääriarvosovelluksissa (derivoiminen, nollakohtien ratkaiseminen, kulun havainnointi)
• oppii piirtämään ja havainnoimaan kahden muuttujan funktion kuvaajaa, laskemaan funktion arvon sekä määrittämään ja havainnollistamaan tasa-arvokäyriä.

Keskeiset sisällöt

• vektoriesitys kolmiulotteisessa koordinaatistossa
• piste- ja ristitulo
• piste, suora ja taso avaruudessa
• kulma avaruudessa
• yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskennan sovelluksia avaruusgeometriassa
• kahden muuttujan funktio ja pinta avaruudessa

Tarkennuksia sisältöihin

Vektorit. xyz-avaruuden vektorit. Suoran suuntavektori ja suoran parametrimuotoi­nen yhtälö. Tason suuntavektorit ja nor­maalivektori. Ristitulon laskeminen ohjel­mistolla ja ilman. (Tarkastelun painopiste on kuitenkin ristitulon sovelluksissa, esimerkiksi tason normaalivektorin määrittämisessä, jolloin ristitulon voi määrittää ohjelmistol­la). Kulmiin liittyviä laskuja vektorien avulla.

Avaruuskappaleet ja ääriarvosovellukset. Sisäkkäisiin avaruuskappaleisiin liittyvät haastavammat tilanteet sekä avaruuskap­paleisiin liittyvät ääriarvosovellukset (derivaattatarkastelut).

Kahden muuttujan funktio. Reaaliarvoi­set funktiot. Kuvaajan piirtäminen ja ha­vainnointi. Kriittisen pisteen havainnointi kuvaajasta. Funktion arvo ja tasa-arvokäy­rä.

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• tietää mikä on algoritmi sekä oppii tutkimaan, kuinka algoritmit toimivat
• oppii toteuttamaan yksinkertaisia algoritmeja ohjelmoimalla
• perehtyy logiikan käsitteisiin
• hallitsee lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin
• osaa tutkia kokonaislukujen jaollisuutta.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson käytetään ohjelmointia apuna, kun tutkitaan lukujen ominaisuuksia ja erilaisia algoritmeja. Keskeisenä päämääränä on kokonaisuuksien ymmärtäminen ja mielenkiinnon herättäminen.

• Esimerkiksi: Laadi ohjelma, joka
  • tulostaa lukujen a ja b jakoyhtälön
  • tulostaa jäännösluokka a mod n sata pienintä positiivista jäsentä
  • tutkii, onko n alkuluku peräkkäisillä jakolaskuilla, joissa jakajina 2, 3, 4, …, .
• Ohjelmoimalla voidaan ratkaista lisäksi esimerkiksi seuraavia ongelmia:
  • neliöjuuren likiarvon laskeminen
  • funktion nollakohdan etsiminen puolitusmenetelmällä
  • yhtälön ratkaiseminen Newtonin menetelmällä
  • alkulukututkimus Monte-Carlomenetelmällä.

Keskeiset sisällöt

• algoritmisen ajattelun peruskäsitteet: peräkkäisyys, valinta ja toisto
• vuokaavio
• yksinkertaisten algoritmien, kuten lajittelualgoritmien tai yhtälön numeeriseen ratkaisuun liittyvän algoritmin ohjelmointi
• konnektiivit ja totuusarvot
• kokonaislukujen jaollisuus, jakoyhtälö ja kongruenssi
• Eukleideen algoritmi
• aritmetiikan peruslause

Tarkennuksia sisältöihin

Logiikka. Ja, tai ja ei-konnektiivit sekä yksinkertaiset totuustaulut. Todistamista ei käsitellä erillisenä sisältönä.

Ohjelmointi. Ohjelmointi toteutetaan jollakin ohjelmointikielellä, esimerkiksi Pythonilla. Opetussuunnitelman tavoitteita ei voi saavuttaa pelkällä taulukkolaskennalla.

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Opintojaksossa syvennetään ja laajennetaan analyysiin liittyvien käsitteiden hallintaa ja menetelmiä.

Tavoitteet

Opintojaksossa tavoitteena on, että opiskelija

• syventää ymmärrystään analyysin peruskäsitteistä
• osaa muodostaa ja tutkia aidosti monotonisten funktioiden käänteisfunktioita
• täydentää integraalilaskennan taitojaan
• perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa
• osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja epäoleellisten integraalien laskemisessa sovellusten yhteydessä.

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• oppii piirtämään paloittain määritellyn funktion
• osaa tutkia funktioiden jatkuvuutta ja derivoituvuutta kuvaajan avulla sekä laskennallisesti
• osaa määrittää raja-arvoja (myös äärettömyydessä)
• oppii määrittämään käänteisfunktion lausekkeen (yhtälön avulla) ja käänteisfunktion määrittelyjoukon
• osaa laskea epäoleellisia integraaleja raja-arvon avulla
• oppii piirtämään normaalijakaumakuvaajia
• oppii määrittämään normaalijakaumaan liittyviä todennäköisyyksiä ja ratkaisemaan käänteisen tilanteen sekä ratkaisemaan tuntemattoman odotusarvon tai keskihajonnan symbolisesti tilanteissa, jotka eivät vaadi normittamista.

Keskeiset sisällöt

• paloittain määritelty funktio
• funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen
• jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia
• käänteisfunktio
• funktioiden raja-arvot äärettömyydessä
• epäoleelliset integraalit
• jatkuvat jakaumat, normaalijakauma ja normittaminen

Tarkennuksia sisältöihin

Analyysin peruskäsitteet. Kerrataan ja syvennetään opintojaksoissa MAA6 ja MAA7 opiskeltuja analyysin käsitteitä: funktion määrittely- ja arvojoukko, raja-arvo, jatkuvuus ja derivoituvuus, derivaatta ja derivaattafunktio, integraalifunktio ja määrätty integraali. Toispuoleinen raja-arvo ja derivaatta. Esimerkkejä epäjatkuvista funktioista sekä funktioista, jotka ovat jatkuvia mutta eivät ole derivoituvia (esim. itseisarvofunktio). Opintojaksossa voidaan esim. syventää ja laajentaa derivaatta-tarkasteluja (mm. 2. kertaluvun derivaatta) tai integroimistekniikoita tai tutustua määrätyn integraalin sovelluksiin (mm. käyrän pituus, pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala, funktion keskiarvo).

Jatkuvien funktioiden yleiset ominaisuudet. Lukio-opinnoissa esiintyvät alkeisfunktiot ja itseisarvofunktio ovat määrittelyjoukossaan jatkuvia. Bolzanon lause: tietyllä välillä jatkuvan funktion erimerkkisten arvojen välissä on nollakohta. Jatkuva funktio voi siis vaihtaa merkkiään vain nollakohdassa (tai kohdassa, jossa sitä ei ole määritelty). Suljetulla välillä jatkuva funktio saa pienimmän ja suurimman arvonsa sekä kaikki arvot näiden välissä.

Derivoituvien funktioiden yleiset ominaisuudet. Lukio-opinnoissa esiintyvät alkeisfunktiot ja itseisarvofunktio ovat määrittelyjoukossaan derivoituvia (paitsi juurifunktiot ja itseisarvofunktio kohdassa x = 0). Derivoituva funktio on jatkuva, mutta jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Derivaatan merkin yhteys funktion kulkuun ja ääriarvoihin (ml. monotonisuuden tutkiminen). Sovelluksina esimerkiksi yhtälön juurten olemassaolon ja lukumäärän tutkiminen sekä epäyhtälötarkastelut.

Käänteisfunktio. Ehto olemassaolo: bijektiivisyys. Esim. aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio. Määrittely- ja arvojoukko. Lausekkeen ratkaiseminen. Funktion ja käänteisfunktion kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen (mistä seuraa muun muassa,  että niiden derivaatat ovat vastinpisteissä toistensa käänteislukuja).

Raja-arvot ja epäoleellinen integraali. Raja-arvot äärettömyydessä ja raja-arvona ääretön. Sovelluksena esimerkiksi rationaali­funktion asymptootit (pysty- ja vaakasuo­rat) ja arvojoukko. Raja-arvojen määrittä­minen laskemalla (supistukset ja sieven­nykset, esim.  . Epäoleelli­sen integraalin määritelmä raja-arvona: tapaukset, joissa integrointiväli rajoitta­maton tai funktion arvojoukko rajoittama­ton.

Jatkuvat jakaumat. Tiheysfunktio ja kertymäfunktio. Todennäköisyyden ja odotusarvon määrittäminen integraalilaskennan keinoin (ohjelmistolla). Normaalijakauman perusominaisuuksien (mm. symmetria) tunteminen ja esimerkkejä normaalijakaumamallin käytöstä sovelluksissa. Normittamisen periaate ja eri normaalijakaumien vertailu. Binomijakauman yhteys normaalijakaumaan esimerkinomaisesti tarkastellen.

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Opintojakso on tarkoitettu opiskeltavaksi ennen ylioppilaskirjoituksia.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• saa kokonaiskuvan matematiikan eri osa-alueista
• syventää ja täydentää tietojaan ja taitojaan pakollista moduuleista
• harjaantuu yhdistämään eri moduuleissa opittuja asioita ja ohjelmistotaitoja
• harjaantuu käyttämään käytössä olleita ohjelmia ja valitsemaan sovelluksissa tarkoituksenmukaisen ohjelman.

Keskeiset sisällöt

• funktiot ja yhtälöt
• geometria
• trigonometria
• analyyttinen geometria
• vektorit
• todennäköisyyslaskenta
• lukujonot ja summat
• talousmatematiikka
• differentiaali- ja integraalilaskenta

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Hyvinvointiosaaminen

Vuorovaikutusosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu käyttämään opintojaksojen MAA2 – MAA4 sisältöihin liittyviä laskumenetelmiä ja sovelluksia
• harjaantuu käyttämään monipuolisesti ohjelmia apuvälineenä tehtävien ratkaisemisessa ja ratkaisujen tarkistamisessa.

Keskeiset sisällöt

• rationaalifunktiot ja -yhtälöt
• juurifunktiot ja -yhtälöt
• suoraan lieriöön ja suoraan kartioon sekä palloon liittyvien pituuksien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen
• analyyttisen geometrian menetelmien laajempi tarkastelu

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Globaali- ja kulttuuriosaaminen

Hyvinvointiosaaminen

Vuorovaikutusosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu käyttämään matematiikkaa ongelmien ratkaisemisessa ja oppii
• luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä
• oppii muodostamaan lausekkeita ja yhtälöitä annettuihin ongelmiin sekä ratkaisemaan
• yhtälöitä ja tulkitsemaan saatua ratkaisua
• osaa soveltaa lukujonoja ja niistä muodostettuja summia matemaattisten
• ongelmien ratkaisussa
• osaa käyttää ohjelmistoja polynomifunktion tutkimisessa polynomiyhtälöihin
• ja polynomifunktioihin liittyvien sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

• ongelmien muotoileminen yhtälöiksi
• yhtälöiden ratkaiseminen
• ratkaisujen tulkinta ja arvioiminen
• toisen asteen polynomifunktio ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen
• aritmeettinen lukujono ja summa
• geometrinen lukujono ja summa

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• vahvistaa opintojaksossa MAY1 hankkimiaan yhtälön ja yhtälöparin ratkaisemiseen sekä funktion tarkasteluun liittyviä taitojaan
• oppii sieventämään polynomilausekkeita
• osaa ratkaista opintojaksoon kuuluvia yhtälöitä graafisesti ja symbolisesti; osaa määrittää ratkaisulle tarkan arvon ja likiarvon
• oppii tutkimaan, esimerkiksi liukusäätimen avulla, miten ensimmäisen ja toisen as- teen polynomifunktion kertoimet vaikuttavat funktion kuvaajaan
• oppii hyödyntämään taulukkolaskentaohjelmaa lukujonojen ja summien tarkastelussa: aritmeettisen ja geometrisen lukujonon tuottaminen täyttökahvan avulla, summan laskeminen sekä lukujonon kuvaaminen koordinaatistossa
• harjoittelee sähköistä vastaamista.

Tarkennuksia sisältöihin

Peruslaskutoimitukset ja laskujärjestys. Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin, lukusuora ja lukujen suuruusjärjestys. Rationaaliluvun esitys murtolukuna, päättyvänä desimaalilukuna tai jaksollisena desimaalilukuna. Murtolukujen peruslaskutoimitukset mukaan lukien käänteisluku ja potenssiin korotukset (n kokonaisluku). Negatiivinen ja nollas potenssi sekä luvun kymmenpotenssiesitys. Irrationaaliluku. Tarkka arvo ja likiarvo. Luvun neliö ja kuutio, neliö- ja kuutiojuuri: määritelmät. (Neliöjuuren laskusäännöt opiskellaan opintojaksossa MAA2. Yleinen juuri ja potenssiyhtälö opiskellaan opintojaksoissa MAA2 ja MAB4).

Prosentti. Prosenttiyksikkö, prosenttiker­roin. Perusarvon ratkaiseminen. Vertailu- ja muutosprosentti, peräkkäiset muutok­set. Tarkastellaan monipuolisesti ilmiöitä, joihin liittyy prosentuaalisia muutoksia.

Verrannollisuus. Suoraan ja kääntäen ver­rannollisia suureita käytännön tilanteissa. Ongelman muotoileminen yhtälöksi. Ver­rantomuotoisen yhtälön ratkaiseminen.

Funktio. Funktiokäsitteen täsmennys. Muuttuja, funktion arvo, funktion lauseke ja funktion arvon laskeminen. Muuttujan arvon ratkaiseminen. Funktion kuvaaja ja sen tulkitseminen: nollakohdan ratkaiseminen algebrallisesti ja graafisesti sekä funktion merkin havainnointi. Kuvaajan ja lausekkeen yhdistäminen. (Määrittely- ja arvojoukko opiskellaan opintojaksoissa MAA2 ja MAA5.)

Yhtälö ja yhtälöpari. Ensimmäisen asteen yhtälön ja potenssiyhtälön (n = 2,3) ratkai­seminen. Sen tutkiminen, onko annettu luku yhtälön ratkaisu. Nimittäjien poista­minen yhtälöstä. Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen sekä sijoitus- että elimi­nointi-menetelmällä.

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen

Hyvinvointiosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu tekemään havaintoja ja päätelmiä kuvioiden ja kappaleiden geo­metrisista ominaisuuksista
• vahvistaa tasokuvioiden ja kolmiulotteisten kappaleiden kuvien piirtämisen taitojaan
• osaa ratkaista käytännön ongelmia geometriaa hyväksi käyttäen
• osaa käyttää ohjelmistoja kuvioiden ja kappaleiden tutkimisessa sekä geo­metriaan liittyvien sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

• kuvioiden yhdenmuotoisuus
• suorakulmaisen kolmion trigonometria
• Pythagoraan lause ja Pythagoraan lauseen käänteislause
• kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen
• geometrian menetelmien käyttö tasokoordinaatistossa

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• tutustuu yksinkertaisten mallikuvien piirtämiseen geometriaohjelmalla ja yo-kokeen A-osan ohjelmistoilla
• oppii tutkimaan kuvioiden ominaisuuksia ja säännönmukaisuuksia dynaamisen geometrian ohjelmalla (esim. kehäkulmalause)
• osaa ratkaista toisen ja kolmannen asteen potenssiyhtälön ja ilmoittaa ratkaisulle tarkan arvon ja likiarvon
• oppii laskemaan sinin, kosinin ja tangentin arvoja sekä ratkaista terävän kulman (likiarvot)
• harjaantuu laskinohjelmiston hyödyntämiseen geometrian ongelmien ratkaisemisessa: laskemisessa, sieventämisessä ja yhtälönratkaisussa
• tutustuu ongelman ratkaisemiseen konstruoimalla kuvion tai kappaleen ja määrittämällä kulman, pituuden, pinta-alan tai muun mitan hyödyntämällä ohjelmistoa.

Tarkennuksia sisältöihin

Yhdenmuotoisuus. Yhdenmuotoisuus ja mittakaava. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen ja yhdenmuotoisten kappalei­den tilavuuksien suhde. Kolmioiden kk-yhdenmuotoisuuslause. Käsittelyn pai­nopiste on käytännön ongelmien ratkaise­misessa.

Tasogeometria. Kulmiin liittyviä nimi­tyksiä. Kuvioiden ominaisuuksia: piiri, korkeusjana, lävistäjä, pinta-ala.

Suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lause ja terävän kulman sini, kosini ja tan­gentti.

Kolmiot ja muut monikulmiot. Tasakyl­kinen ja -sivuinen kolmio. Suunnikkaan ominaisuudet.

Ympyrä. Kehän, kaaren ja jänteen pituus. Ympyrän, sektorin ja segmentin pinta-ala. Kehäkulmalause. Ympyrän tangentti.

Avaruusgeometria. Kappaleiden ominai­suuksia: pohjan ja vaipan pinta-ala, tila­vuus. Suoraan särmiöön, ympyrälieriöön, ympyräkartioon, pyramidiin ja palloon liittyviä laskuja. Kappaleen tasolevitykset (esim. ympyräkartion vaippa muodostaa ympyräsektorin).

Tason koordinaatisto. Piste, jana, janan keskipiste ja pituus. Monikulmioiden pii­rin, pinta-alan ja kulmien laskeminen.

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• näkee reaalimaailman ilmiöissä säännönmukaisuuksia ja riippuvuuksia ja kuvaa niitä matemaattisilla malleilla
• arvioi lineaarisen ja eksponentiaalisen kasvun malleja muun muassa tauluk­kolaskentaohjelman avulla ja tekee ennusteita mallien avulla
• tottuu arvioimaan mallien hyvyyttä ja käyttökelpoisuutta
• osaa käyttää ohjelmistoja mallintamisessa, polynomi- ja eksponenttifunktion ominaisuuksien tutkimisessa sekä polynomi- ja eksponenttiyhtälöiden ratkai­sussa sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

• lineaarisen ja eksponentiaalisen mallin soveltaminen
• eksponenttiyhtälön ratkaiseminen
• ennusteet ja mallin hyvyys

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• osaa tutkia funktion parametrien vaikutuksia funktion ominaisuuksiin esim. liukusäätimen avulla
• oppii ratkaisemaan eksponenttiyhtälön ja yleisen potenssiyhtälön (likiarvo)
• oppii hyödyntämään taulukkolaskentaohjelmaa lineaarisen ja eksponentiaalisen kasvun mallien tarkasteluun
• oppii sovittamaan polynomifunktion ja eksponenttifunktion annettuun pistejoukkoon (sovellustehtävissä)
• oppii soveltamaan saamaansa mallia laskemalla funktion arvon, kun muuttujan arvo tunnetaan ja muuttujan arvon, kun funktion arvo tunnetaan.

Tarkennuksia sisältöihin

Matemaattisen mallintamisen periaate. Käytännön tilanteeseen liittyvän ongelman jäsentäminen ja ilmiöön liittyvien muuttujien ja niiden välisten yhteyksien hahmottaminen. Matemaattisen mallin (lauseke, yhtälö tai funktio) muodostaminen joko sijoittamalla parametrien arvot lineaariseen/eksponentiaaliseen malliin tai sovittamalla malli annettuun pistejoukkoon. Saadun mallin arvioiminen esim. visuaalisesti ja tarkastelemalla ennusteiden mielekkyyttä: kuvaako malli ilmiötä tietyllä välillä tai välin ulkopuolella. Ongelman ratkaisu ja mielekäs tarkkuus, tulosten tulkinta ja arviointi. Opintojaksossa käsitellään monipuolisesti käytännön tilanteita (mm. ajasta riippuvat suureet).

Lineaarinen malli. Suoran kulmakerroin ja suoran yhtälön muodostaminen, suorien yhdensuuntaisuus.

Eksponentiaalinen malli. Yleinen ekspo­nentiaalinen malli  kuvaajatyypit. Eksponentiaalisen kasvamisen ja vähene­misen kuvaaminen, puoliintumisaika. Parametrien k ja a ratkaiseminen, yleinen potenssiyhtälö ja yleinen juuri. Sellaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaiseminen, jot­ka saadaan muokatuksi muotoon ja joiden ratkaiseminen palautuu 1. tai 2. asteen yhtälön ratkaisemiseen. Muut eksponent­tiyhtälöt ratkaistaan ohjelmistolla (likiarvoina). Epäyhtälötarkastelut voidaan tehdä ohjelmistolla esimerkiksi ratkaisemalla vastaava yhtälö ja tarkastelemalla mallin kasvavuutta/vähenevyyttä. Logaritmi ei kuulu opintojakso­n sisältöihin, mutta se voi­daan käsitellä ajan salliessa. Lineaarisen ja eksponentiaalisen mallin vertailu: lineaa­risessa mallissa muutos on tasaista, ekspo­nentiaalisessa mallissa suhteellista.

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu käsittelemään, havainnollistamaan ja tulkitsemaan tilastollisia aineistoja
• perehtyy todennäköisyyslaskennan perusteisiin ja sitä havainnollistaviin mal­leihin
• osaa käyttää ohjelmistoja digitaalisessa muodossa olevan datan hakemi­sessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä havaintoaineiston tunnuslukujen määrittämisessä ja todennäköisyyslaskennassa.

Keskeiset sisällöt

• tilastoaineiston havainnollistaminen ja tunnuslukujen määrittäminen
• regression ja korrelaation käsitteet
• havainto ja poikkeava havainto
• ennusteiden tekeminen
• todennäköisyyden käsite
• yhteen- ja kertolaskusääntö
• kombinaatiot ja tuloperiaate
• todennäköisyyslaskennan malleja

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu taulukkolaskentaohjelman sujuvaan käyttöön, mm. soluviittaukset, lajittelu/järjestäminen ja suodatus (eli oleellisen informaation erottaminen)
• harjaantuu tilastollisen aineiston sujuvaan käsittelyyn: oppii tiivistämään tietoa taulukoimalla ja määrittämään tunnuslukuja sekä havainnollistamaan tilastoja erilaisilla kaavioilla
• oppii piirtämään hajontakuvion, sovittamaan regressiosuoran sekä määrittämään korrelaatiokertoimen
• tutustuu ajankohtaisen tilastotiedon etsimiseen ja lataamiseen eri verkkolähteistä sekä tiedon käsittelyyn, kuvaamiseen ja analysoimiseen
• oppii laskemaan kombinaatioita
• tutustuu todennäköisyyden olemukseen esimerkiksi simuloimalla nopanheittoa.

Tarkennuksia sisältöihin

Tilastoaineiston käsittely. Perusjoukko ja otos. Tutustutaan sekä diskreetteihin että jatkuviin tilastollisiin muuttujiin. Luokit­telu: luokkarajat, todelliset luokkarajat, luokkakeskus (tasaväliset luokat). Frek­venssitaulukot ja tilastollinen todennäköi­syys. Tilastolliset tunnusluvut: vaihteluväli, keskiluvut (moodi, mediaani, keskiarvo) ja keskihajonta (otoskeskihajonta). Tunnuslu­kujen laskentaperiaatteen ymmärtäminen. Tarkastellaan tilastoja eri aloilta, mm. bio­logia, maantiede, historia, terveystieto.

Tilaston havainnollistaminen. Tilaston kuvaamiseen sopivimman kaaviotyypin valinta: ympyrädiagrammi, pylväs- ja palkkikuvaaja, histogrammi (tasaväliset luokat) sekä viivakaavio (aikasarjat ja summafrekvenssikuvaaja), hajontakuvio. Kaavion tulkitseminen.

Poikkeava havainto. Poikkeava havainto on sellainen muuttujan arvo, joka poikke­aa suuresti havaittujen arvojen valtaenem­mistöstä. Arvon poikkeavuus arvioidaan kuvaajasta. Ymmärrys, että poikkeavilla arvoilla voi olla merkittävästi vääristävä vaikutus tilastollisiin tunnuslukuihin, ku­ten keskiarvoon, hajontaan, regressiosuo­raan, jne.

Tilastollinen riippuvuus. Selittävä ja seli­tettävä muuttuja, hajontakuvio, lineaarisen riippuvuuden havainnoiminen hajontaku­viosta. Regressiosuora ja korrelaatioker­roin. Ennusteiden tekeminen muodostetun regressiomallin avulla. Ennusteen arvioi­minen esimerkiksi visuaalisesti ja tarkastelemal­la ennusteiden mielekkyyttä: kuvaako malli ilmiötä tietyllä välillä tai välin ulko­puolella.

Todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyy­den olemukseen tutustuminen esim. teke­mällä havaintoja nopanheitosta. Todennä­köisyyslaskennan mallit: klassinen, geo­metrinen ja tilastollinen todennäköisyys. Alkeistapausten laskemismenetelmiä (tu­loperiaate ja kombinaatiot). Riippumatto­mien tapahtumien kertolaskusääntö ja erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö sekä komplementtisääntö. Venn-diagram­min hyödyntäminen laskusääntöjen ha­vainnollistamisessa.

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• hallitsee talousmatematiikan peruskäsitteet ja -taidot
• syventää prosenttilaskennan taitojaan
• oppii kuvaamaan talouselämän asioiden kehittymistä
• osaa käyttää tietolähteitä ja ohjelmistoja laskelmien tekemisessä sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

• suhteellinen osuus, vertailu, muutoksen laskeminen
• indeksi
• korkokäsite, yksinkertainen korko
• verotus
• valuutat

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• oppii muodostamaan indeksisarjan ja kuvaamaan sitä taulukkolaskentaohjelmalla (viivakaavio)
• osaa ratkaista potenssiyhtälön (esim. keskimääräisen vuotuisen hinnanmuutoksen ratkaiseminen)
• tutustuu talouden tietojen (esim. verotaulukoiden, valuuttakurssien ja indeksien) etsimiseen eri verkkolähteistä.

Tarkennuksia sisältöihin

Prosenttilaskenta. Syvennetään opintojaksossa MAY1 opittuja prosenttilaskennan taitoja mm. tarkastelemalla prosenttilausekkeita ja laskemalla keskimääräistä vuotuista muutosta.

Talousmatematiikan peruskäsitteet. Näillä viitataan keskeisiin sisältöihin.

Indeksit. Yksinkertaisen indeksisarjan muodostaminen. Indeksien käyttö (esim. indeksiin sidotut suureet). Tutustutaan esim. kuluttajahintaindeksin käyttöön hintatason, inflaation ja rahan ostovoiman mittarina; kuluttajahinnat ja reaaliansiota­so. Eriaikaisten rahasummien vertailu.

Korkolaskenta. Koron käsite ja yksinker­tainen korkolaskenta. Korkoaika ja korko­kausi. Talletukset ja lähdevero.

Verotus ja valuutat. Ansiotuloverotuksen perusperiaatteet: valtion tulovero, verotau­lukot ja veron progressiivisuus, kunnallis­vero. Brutto- ja nettotulo. Arvonlisävero­tus (ja haittaverot). Valuuttamuunnokset. Devalvaation ja revalvaation vaikutusta kuluttajahintoihin voidaan tarkastella keskeisiä sisältöjä syventävässä osuudessa.

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Moduuli on yhtenevä opintojakson MAA9 kanssa, mikä mahdollistaa opintokokonaisuuden muodostamisen yhteiskuntaopin taloustiedon moduulin YH2 kanssa. YH2-moduuliin voi yhdistää talousmatematiikan moduuleja sekä pitkän että lyhyen matematiikan oppimääristä. On mahdollista muodostaa näiden kaikkien kolmen moduulin yhteinen opintojakso tai kaksi eri opintojaksoa: YH2+MAB7 tai YH2+MAA9. 

Tavoitteet

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija

• oppii hyödyntämään matemaattisia valmiuksiaan resurssien riittävyyteen, talouden suunnitteluun, yrittäjyyteen ja kannattavuuden laskentaan
• soveltaa lukujonojen kaavoja talouteen liittyvissä matemaattisissa ongelmissa
• oppii sovittamaan taloudellisiin tilanteisiin matemaattisia malleja ja ymmärtää niiden rajoitukset
• osaa hyödyntää ohjelmistoja laskelmien tekemisessä ja sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

• aritmeettinen ja geometrinen lukujono ja niiden summat
• korkolaskut: koron korko, nykyarvo ja diskonttaus
• talletukset ja lainat
• taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja, joissa hyödynne­tään lukujonoja ja summia

Ohjelmistotaidot

Moduulin tavoitteena on, että opiskelija

• osaa hyödyntää symbolista laskentaa talousmatematiikan laskuissa ja yhtälönratkaisussa (esim. annuiteettilainan yhteydessä)
• harjaantuu käsittelemään lukujonoja: esim. tallentamaan lukujonon funktiona f(n), laskemaan lukujonon jäseniä ja ratkaisemaan yhtälöitä
• oppii tekemään lainalaskelmia (esim. taulukkolaskentaohjelmassa)
• tutustuu esim. verkosta löytyvien laskureiden (esim. hiilijalanjälki) laskentaperiaatteisiin.

Tarkennuksia sisältöihin

Lukujonot. Lukujonojen ja summien perusteet on opiskeltu opintojaksossa MAB2. Tässä opintojaksossa tarkastelu painottuu lukujonojen sovelluksiin. Sovelluksina tarkastellaan esim. peräkkäisiä sijoituksia (kuten talletuksia) ja sijoitusten kokonaisarvoa. Talouden sovellusten lisäksi voidaan tarkastella esim. ekologisten resurssien eli luonnonvarojen riittävyyttä riittävyyslaskelmin (esim. fossiilisten polttoaineiden kuten öljyn, ruuan ja puhtaan veden riittävyys).

Korkolaskenta. Koronkorkolaskussa tu­tustutaan yleisiin käytäntöihin korkoaiko­jen laskemisessa, tulosten pyöristämisessä, jne. Koronkorko- ja diskonttausmenetelmä: kasvanut pääoma, eriaikaisten maksujen nykyarvo.

Lainat. Peruskäsitteet (lainapääoma, lyhennys, takaisinmaksuerä, jne.). Eri lai­namuodot (asuntolaina, opintolaina, kulu­tusluotto, pikavippi) ja takaisinmaksuperiaatteet (tasalyhennyslaina, tasaerä- eli annuiteettilaina ja kiinteä tasaerälaina) sekä lainan hoito (lyhennysten, korkojen ja jäljellä olevan lainan määrän laskeminen eri lainamuodoissa, eri lainamuotojen vertailu).

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• tutkii funktion muutosnopeutta graafisin ja numeerisin menetelmin
• ymmärtää derivaatan tulkinnan funktion muutosnopeutena
• osaa tutkia polynomifunktion kulkua derivaatan avulla
• osaa määrittää sovellusten yhteydessä polynomifunktion suurimman ja pie­nimmän arvon
• osaa käyttää ohjelmistoja funktion kulun tutkimisessa sekä funktion derivaa­tan ja suljetun välin ääriarvojen määrittämisessä sovellusten yhteydessä.

Keskeiset sisällöt

• graafisia ja numeerisia menetelmiä
• polynomifunktion derivaatta
• polynomifunktion merkin ja kulun tutkiminen
• polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon määrittäminen suljetulla välillä
• funktion muutosnopeuden määrittäminen ohjelmistojen avulla

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• oppii piirtämään funktion kuvaajalle sekantin ja määrittämään funktion keskimääräisen muutosnopeuden
• oppii piirtämään funktion kuvaajalle tangentin ja määrittämään funktion muutosnopeuden (graafinen derivointi) sekä havainnoimaan funktion kasvavuutta graafisesti (kuvaajalle piirretyn tangentin avulla)
• harjaantuu sujuvaan lausekkeiden käsittelyyn (sieventämiseen ja arvon laskemiseen)
• osaa derivoida funktion ja laskea derivaatan arvon sekä ratkaista nollakohdat symbolisesti
• osaa selvittää derivaattafunktion merkin kuvaajan perusteella (polynomifunktion merkki voi vaihtua vain nollakohdassa).

Tarkennuksia sisältöihin

Funktion muutosnopeus. Keskimääräi­nen ja hetkellinen muutosnopeus: polyno­mifunktion kuvaajalle piirretyn sekantin ja tangentin kulmakertoimen laskeminen kahden pisteen avulla likimääräisesti ku­vaajasta. Keskimääräisen muutosnopeu­den laskeminen lausekkeen avulla. Ei kas­vua, vakiokasvu, kiihtyvä tai hidastuva kasvu. Funktion kasvavuuden ja vähene­vyyden havainnointi kuvaajasta.

Derivaatta. Havainnollisesti esiteltynä ilman täsmällistä määritelmää; derivaatan yhteys muutosnopeuteen ja tangenttiin. Polynomifunktion derivointi ja derivaatan arvon laskeminen. Käytännön maksi­mointi- ja minimointiongelmia mm. geo­metrian ja talouden aloilta.

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• tutustuu normaalijakaumaan matemaattisena mallina
• tutustuu binomijakaumaan matemaattisena mallina
• vahvistaa ja monipuolistaa tilastojen käsittely- ja tutkimustaitojaan ohjelmis­tojen avulla
• tietää, kuinka lasketaan tilastollisiin jakaumiin liittyviä tunnuslukuja ja toden­näköisyyksiä, ja osaa määrittää ne ohjelmistojen avulla
• ymmärtää luottamusvälin ja virhemarginaalin käsitteen ja osaa määrittää ne ohjelmistojen avulla.

Keskeiset sisällöt

• normaalijakauma ja jakauman normittamisen käsitteet (odotusarvo ja keski­hajonta)
• toistokoe
• binomijakauma
• luottamusvälin ja virhemarginaalin käsite

Ohjelmistotaidot

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• vahvistaa opintojaksossa MAB5 hankkimiaan tilastojen käsittelyyn ja kuvaamiseen liittyviä taitojaan: tunnuslukujen laskemista ja todennäköisyyksien määrittämistä
• osaa laskea kombinaatioita (binomitodennäköisyys)
• oppii esittämään binomijakauman graafisesti sekä määrittämään jakauman tunnusluvut (odotusarvon ja keskihajonnan)
• oppii piirtämään normaalijakauma-kuvaajia
• oppii määrittämään binomijakaumaan ja normaalijakaumaan liittyviä todennäköisyyksiä sekä ratkaisemaan käänteisen tilanteen
• oppii ratkaisemaan normaalijakauman tuntemattoman odotusarvon tai keskihajonnan symbolisesti tilanteissa, jotka eivät edellytä jakauman normittamista
• tuntee luottamusvälin määrittämisessä tarvittavat suureet ja osaa määrittää ne sekä luottamusvälin.

Tarkennuksia sisältöihin

Binomijakauma. Toistokoe ja binomito­dennäköisyyden laskukaavan tunteminen. Binomijakauma, odotusarvo ja keskihajon­ta. Kertymätodennäköisyys.

Normaalijakauma. Jakauman perusomi­naisuuksien (mm. symmetria) tunteminen ja normaalijakauma-mallin käyttö sovel­luksissa. Kertymätodennäköisyys ja kerty­mäfunktio. Normittaminen ja kahden nor­maalijakauman vertailu. Normitettu normaalijakauma ja luottamusvälin käsite, kriittiset arvot. Binomijakauman yhteys normaalijakaumaan esimerkinomaisesti tarkastellen.

Tilastollinen päättely. Käsitellään tiedotusvälineissä esille tulevaa ajankohtaista tilastollista informaatiota. Perusjoukko, jonka tunnuslukuja (keskiarvoa ja suhteellista osuutta) arvioidaan otoksesta laskettujen tunnuslukujen avulla muodostamalla luottamusväli. Keskiarvon keskivirheen laskeminen. Luottamustaso ja sen vaikutus luottamusväliin. Virhemarginaali. Luottamusvälin muodostamisen perusperiaate: on tunnettava otoskoko, otoskeskiarvo ja otoskeskihajonta tai suhteellinen osuus otoksessa, luottamustaso ja siihen liittyvä kriittinen arvo. Teoreettiset perustelut luottamusvälin muodostamiselle (otoksen keskiarvo ja prosenttiosuus ovat likimain normaalijakautuneita) voidaan sivuuttaa. Tilastollinen testaus ei kuulu opintojakson keskeisiin sisältöihin.

Laaja-alainen osaaminen

Vuorovaikutusosaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Yhteiskunnallinen osaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.

Tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

• saa kokonaiskuvan matematiikan eri osa-alueista
• syventää ja täydentää tietojaan ja taitojaan pakollista kursseista
• harjoittelee yo-koetta varten
• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä sähköisissä yo-kirjoituksissa.

Keskeiset sisällöt

• luvut ja yhtälöt
• lausekkeet ja yhtälöt
• geometria
• matemaattisia malleja
• tilastot ja todennäköisyys
• talousmatematiikka

Laaja-alainen osaaminen

Monitieteinen ja luova osaaminen

Arviointi

Arvioinnista sovitaan opiskelijoiden kanssa opintojakson alussa.